Analiza

Analiza , grana matematike koja se bavi kontinuiranim promjenama i određenim općim vrstama procesa koji su nastali proučavanjem kontinuiranih promjena, poput ograničenja, diferencijacije i integracija . Od otkrića diferencijalnog i integralnog računa Isaaca Newtona i Gottfrieda Wilhelma Leibniza krajem 17. stoljeća, analiza je prerasla u ogromno i središnje polje matematičkih istraživanja, s primjenama u svim znanostima i na područjima poput financija, ekonomije , i sociologija.

Povijesno podrijetlo analize može se pronaći u pokušajima izračuna prostornih veličina kao što je duljina zakrivljene crte ili područje zatvoreno krivuljom. Ti se problemi mogu iznijeti čisto kao pitanja matematičke tehnike, ali oni imaju daleko širu važnost jer posjeduju širok spektar interpretacija u fizičkom svijetu. Primjerice, područje unutar zavoja izravno je zanimljivo za mjerenje zemljišta: koliko hektara sadrži zemljište nepravilnog oblika? Ali ista tehnika također određuje masu jednolikog lista materijala omeđenu nekom odabranom krivuljom ili količinu boje potrebne za pokrivanje površine nepravilnog oblika. Manje očito, ove se tehnike mogu koristiti za pronalaženje ukupne udaljenost koju je prešlo vozilo koje se kreće različitim brzinama, dubinu na kojoj će brod plutati kad se stavi u more ili ukupno gorivo potrošnja rakete.



Slično tome, matematička tehnika za pronalaženje tangente crte na krivulji u određenoj točki također se može koristiti za izračunavanje strmine zakrivljenog brijega ili kuta kroz koji se brod u pokretu mora okrenuti kako bi se izbjegao sudar. Manje izravno, vezano je uz izuzetno važno pitanje izračuna trenutne brzine ili drugih trenutnih brzina promjena, poput hlađenja toplog predmeta u hladnoj sobi ili razmnožavanje organizma bolesti kroz ljudsku populaciju.



Ovaj članak započinje kratkim uvodom u povijesnu pozadinu analize i osnovne pojmove poput brojevnih sustava, funkcija, kontinuitet , beskonačni niz i ograničenja, što je sve potrebno za razumijevanje analize. Slijedi ovaj uvod, cjelovit tehnički pregled, od računa do nestandardne analize, a zatim članak završava cjelovitom poviješću.

kako izgleda new york

Povijesna pozadina

Premošćavanje jaza između aritmetike i geometrije

Matematika dijeli pojave u dvije široke klase, diskretne i kontinuirane, koje povijesno odgovaraju podjeli između aritmetike i geometrija . Diskretni sustavi mogu se podijeliti samo do sada i mogu se opisati u smislu cjelovitih brojeva 0, 1, 2, 3,…. Kontinuirani sustavi mogu se podijeliti na neodređeno vrijeme, a za njihov opis potrebni su stvarni brojevi, brojevi predstavljeni decimalnim proširenjima kao što je 3.14159 ..., koji se mogu trajati zauvijek. Razumijevanje istinske prirode takvih beskonačno decimale leži u središtu analize.



Razlika između diskretne matematike i kontinuirane matematike središnje je pitanje matematičkog modeliranja, umjetnosti predstavljanja obilježja prirodnog svijeta u matematičkom obliku. Svemir ne sadrži niti se sastoji od stvarnih matematičkih objekata, ali mnogi aspekti svemira usko podsjećaju na matematičke pojmove. Na primjer, broj dva ne postoji kao fizički objekt, ali opisuje važnu značajku stvari poput ljudskih blizanaca i binarnih zvijezda. Na sličan način, stvarni brojevi pružaju zadovoljavajuće modele za razne pojave, iako se niti jedna fizička veličina ne može točno izmjeriti na više od desetak decimalnih mjesta. Vrijednosti beskonačno mnogo decimalnih mjesta ne vrijede za stvarni svijet već deduktivne strukture koje oni utjelovljuju i omogućuju.

Analiza je nastala jer se mnogi aspekti prirodnog svijeta mogu profitabilno smatrati kontinuiranima - barem do izvrsnog stupnja približavanja. Opet, ovo je pitanje modeliranja, a ne stvarnosti. Materija nije istinski kontinuirana; ako se materija podijeli na dovoljno male komadiće, tada će se pojaviti nedjeljive komponente ili atomi. Ali atomi su izuzetno mali i, za većinu primjena, materiju tretiraju kao da je kontinuum uvodi zanemarivu pogrešku uz istovremeno pojednostavljivanje proračuna. Na primjer, modeliranje kontinuuma je standardna inženjerska praksa kada se proučava protok fluida kao što su zrak ili voda, savijanje elastičnih materijala, raspodjela ili protok električna struja , i protok topline.

Otkriće računa i potraga za temeljima

Dva su glavna koraka dovela do stvaranja analize. Prvo je bilo otkriće iznenađujuće veze, poznate kao temeljni teorem računa, između prostornih problema koji uključuju izračun neke ukupne veličine ili vrijednosti, poput duljine, površine ili obujma (integracija), i problema koji uključuju stope promjena, kao što su nagibi tangenti i brzina (diferencijacija). Zasluge za neovisno otkriće, oko 1670. godine, temeljnog teorema računa, zajedno s izumom tehnika za primjenu ovog teorema, zajednički pripadaju Gottfriedu Wilhelmu Leibnizu i Isaacu Newtonu.



Dok je korisnost račun u objašnjavanju fizičkih pojava bilo je odmah očito, njegova upotreba beskonačnosti u proračunima (razlaganjem krivulja, geometrijskih tijela i fizičkih kretanja na beskonačno mnogo malih dijelova) stvorila je široku nelagodu. Konkretno, anglikanski biskup George Berkeley objavio poznati pamflet, Analitičar; ili, Diskusija upućena nevjerničkom matematičaru (1734), ističući da računica - barem, kako su je iznijeli Newton i Leibniz - posjeduje ozbiljne logičke nedostatke. Analiza je izrasla iz rezultirajućeg mukotrpnog ispitivanja prethodno slabo definiranih koncepata kao što je funkcija i ograničiti.

Newtonov i Leibnizov pristup računanju bio je prvenstveno geometrijski, uključujući omjere s gotovo nula djelitelja - Newtonove fluksije i Leibnizove infinitezimalne vrijednosti. Tijekom 18. stoljeća račun je postajao sve algebarski, kao matematičari - ponajviše Švicarci Leonhard Euler i Talijani Francuzi Joseph-Louis Lagrange —Počeo je generalizirati koncepte kontinuiteta i ograničenja od geometrijskih krivulja i tijela do apstraktnijih algebarskih funkcija i počeo je te ideje širiti na složene brojeve. Iako ta kretanja s temeljnog stajališta nisu bila u potpunosti zadovoljavajuća, bila su temeljna za eventualno usavršavanje rigorozne osnove za izračunavanje od strane Francuza Augustina-Louisa Cauchyja, boema Bernharda Bolzana i nadasve Nijemca Karla Weierstrassa u 19. stoljeću.