Račun , grana matematike koja se bavi izračunavanjem trenutnih stopa promjene ( diferencijalni račun ) i zbroj beskonačno mnogo malih čimbenika za određivanje neke cjeline ( integralni račun ). Dvoje matematičara, Isaac Newton iz Engleske i Gottfried Wilhelm Leibniz iz Njemačke, dijele zasluge što su samostalno razvili račun u 17. stoljeću. Račun je sada osnovna polazna točka za sve koji žele studirati fizika , kemija, biologija, ekonomija, financije ili aktuarska znanost. Račun omogućuje rješavanje problema kao raznolik kao praćenje položaja a svemirski brod ili predviđanje pritisak gradeći se iza brane kako se voda diže. Računala su postala dragocjen alat za rješavanje problema računa, koji su se nekada smatrali nemoguće teškim.
Korijeni kamenca leže u nekima od najstarijih geometrija zabilježeni problemi. Egipatski papirus Rhind ( c. 1650bce) daje pravila za pronalaženje površine kruga i volumena krnje piramide. Drevni grčki geometri istraživali su pronalaženje tangenti na krivulje, težište ravnih i čvrstih figura i volumena predmeta nastalih okretanjem različitih krivulja oko fiksne osi.
Do 1635. talijanski je matematičar Bonaventura Cavalieri dopunio rigorozne alate grčke geometrije s heuristički metode koje su koristile ideju beskonačno malih segmenata linija, površina i volumena. 1637. francuski matematičar-filozof René Descartes objavio je svoj izum analitičke geometrije za davanje algebarskih opisa geometrijskih likova. Descartesova metoda, u kombinaciji s drevnom idejom o krivuljama koje generira pokretna točka, omogućila je matematičarima poput Newtona da opišu pokret algebarski. Odjednom bi geometri mogli nadići pojedinačne slučajeve i ad hoc metode iz prethodnih vremena. Mogli su vidjeti obrasce rezultata i tako nagađati nove rezultate da je stariji geometrijski jezik zasjenio.
Primjerice, grčki geometar Arhimed (287–212 / 211bce) otkrili su kao izolirani rezultat da je površina segmenta parabole jednaka određenom trokutu. Ali s algebarskim zapisom, u kojem je parabola napisana kao Y = x dva, Cavalieri i drugi geometri ubrzo su primijetili da područje između ove krivulje i x -os od 0 do do je do 3/ 3 i da slično pravilo vrijedi i za krivulju Y = x 3—Naime, da je odgovarajuće područje do 4/ 4. Odavde im nije bilo teško pogoditi da je općenita formula za područje pod krivuljom Y = x n je do n +1/ ( n +1).
Problem pronalaska tangenti na krivulje usko je povezan s važnim problemom koji je proizašao iz istraživanja kretanja talijanskog znanstvenika Galilea Galileija, a to je pronalaženje brzine u bilo kojem trenutku čestice koja se kreće prema nekom zakonu. Galileo je utvrdio da je u t sekunde slobodno padajuće tijelo padne na daljinu g t dva/ 2, gdje g je konstanta (koju je Newton kasnije protumačio kao gravitacijsku konstantu). Uz definiciju prosječne brzine kao udaljenosti u vremenu, prosječna brzina tijela u intervalu od t do t + h dat je izrazom [ g ( t + h )dva/ 2 - g t dva/dva]/ h . Ovo pojednostavljuje na g t + g h / 2 i naziva se količnikom razlike od funkcija g t dva/ 2. Kao h približava se 0, ova formula se približava g t , koja se tumači kao trenutna brzina padajućeg tijela u trenutku t .
što opisuje prehranu saprotrofa?
Ovaj izraz za kretanje identičan je onome koji se dobiva za nagib tangens do parabole f ( t ) = Y = g t dva/ 2 u točki t . U ovom geometrijskom kontekst , izraz g t + g h / 2 (ili njegov ekvivalent [ f ( t + h ) - f ( t )] / h ) označuje nagib sekundarne crte koja povezuje točku ( t , f ( t )) do obližnje točke ( t + h , f ( t + h )) ( vidjeti lik). U ograničiti , sa sve manjim intervalima h , sekanta se približava tangenti i njezinu nagibu u točki t .
Ilustracija razlike između prosječne i trenutne stope promjeneGrafik f ( t ) prikazuje sekundu između ( t , f ( t )) i ( t + h , f ( t + h )) i tangenta na f ( t ) u t . Kao vremenski interval h približi nuli, sekanta (prosječna brzina) približava se tangenti (stvarnoj ili trenutnoj brzini) pri ( t , f ( t ))) Encyclopædia Britannica, Inc.
Dakle, količnik razlike može se protumačiti kao trenutna brzina ili kao nagib tangente na krivulju. Račun je bio taj koji je uspostavio tu duboku vezu između geometrije i fizike - u procesu transformiranja fizike i davanja novog poticaj studiju geometrije.
koji je Melkisedek, kralj Salema
Neovisno su Newton i Leibniz uspostavili jednostavna pravila za pronalaženje formule za nagib tangente na krivulju u bilo kojoj točki na njoj, dajući samo formulu za krivulju. Brzina promjene funkcije f (označeno sa f ′) Poznat je kao njegov izvedenica . Pronalaženje formule izvodne funkcije naziva se diferencijacija, a pravila za to čine osnovu diferencijalnog računa. Ovisno o kontekstu, izvedenice se mogu tumačiti kao nagibi tangenti linija, brzine pokretnih čestica ili druge veličine, i u tome leži velika snaga diferencijalnog računa.
Važna primjena diferencijalnog računa je graficiranje krivulje s obzirom na njezinu jednadžbu Y = f ( x ). To posebno uključuje pronalaženje lokalnih maksimalnih i minimalnih točaka na grafikonu, kao i promjene u fleksiji (konveksne do konkavne ili obrnuto). Prilikom ispitivanja funkcije koja se koristi u matematičkom modelu, takvi geometrijski pojmovi imaju fizičke interpretacije koje znanstveniku ili inženjeru omogućuju da brzo steknu osjećaj za ponašanje fizičkog sustava.
Drugo veliko otkriće Newtona i Leibniza bilo je da je pronalaženje izvedenica funkcija u preciznom smislu obrnuto od problema pronalaženja područja pod krivuljama - načelo koje je danas poznato kao temeljni teorem računa . Točnije, Newton je otkrio da ako postoji funkcija F ( t ) koja označava površinu ispod krivulje Y = f ( x ) od, recimo, 0 do t , tada će izvod ove funkcije biti jednak izvornoj krivulji u tom intervalu, F ′ ( t ) = f ( t ). Dakle, pronaći područje ispod krivulje Y = x dvaod 0 do t , dovoljno je pronaći funkciju F tako da F ′ ( t ) = t dva. Diferencijalni račun pokazuje da je najopćenitija takva funkcija x 3/ 3 + C , gdje C je proizvoljna konstanta. To se naziva (neodređeni) integral funkcije Y = x dva, a zapisano je kao ∫ x dva d x . Početni simbol ∫ je izduženi S, što znači zbroj, i d x označava beskrajno mali prirast varijable ili osi preko kojeg se funkcija zbraja. Leibniz je to predstavio jer je razmišljao integracija kao pronalaženje površine pod krivuljom zbrajanjem površina beskonačno mnogo beskonačno tankih pravokutnika između x -os i krivulja. Newton i Leibniz su to otkrili integrirajući f ( x ) ekvivalentno je rješavanju diferencijalne jednadžbe - tj. pronalaženju funkcije F ( t ) tako da F ′ ( t ) = f ( t ). U fizičkom smislu rješavanje ove jednadžbe može se protumačiti kao pronalaženje udaljenosti F ( t ) putovao objekt čija brzina ima zadani izraz f ( t ).
Grana računa koja se bavi računanjem integrali je sastavni kamenac, a među mnogim su primjenama pronalazak posla koji obavljaju fizički sustavi i izračunavanje tlaka iza brane na određenoj dubini.
Copyright © Sva Prava Pridržana | asayamind.com