Modalna logika

Pravi prijedlozi mogu se podijeliti na one - poput 2 + 2 = 4 - koje su logično istinite nužnost (potrebni prijedlozi), a oni - poput Francuske je republika - koji to nisu (uvjetno istiniti prijedlozi). Slično tome, lažni prijedlozi mogu se podijeliti na one - poput 2 + 2 = 5 - koji su lažni zbog logičke potrebe (nemogući prijedlozi) i one - poput Francuske je monarhija - koji to nisu (slučajno lažni prijedlozi). Uvjetno istinite i nepredvidivo lažne tvrdnje zajednički su poznate kao kontingent prijedlozi. Kaže se da je moguća tvrdnja koja nije nemoguća (tj. Ona koja je ili nužna ili nepredviđena). Intuitivno su pojmovi nužnosti i mogućnosti povezani na sljedeći način: reći da je prijedlog nužan znači reći da nije moguće da je lažan, a reći da je prijedlog moguć znači reći da je ne nužno lažno.

Ako je logično nemoguće za određeni prijedlog, str , da bude istina bez određenog prijedloga, što , koji je također istinit (tj. ako je konjunkcija str a ne- što je logično nemoguće), onda se kaže da str strogo podrazumijeva što . An alternativa ekvivalentan način objašnjenja pojma strogog implikacija je govoreći to str strogo podrazumijeva što ako i samo ako je potrebno da str materijalno podrazumijeva što . Na primjer, Johnova kravata je grimizna, striktno podrazumijeva da je Johnova kravata crvena, jer je nemoguće da Johnova kravata bude grimizna, a da nije crvena (ili je nužno istina da je, ako je Johnova kravata grimizna, crvena). Općenito, ako str je veznik prostorijama , i što zaključak, deduktivno valjanog zaključak , str strogo će implicirati što .



Upravo spomenuti pojmovi - nužnost, mogućnost, nemogućnost, nepredviđeni slučaj , stroga implikacija - a neki drugi blisko povezani poznati su kao modalni pojmovi, a logika dizajnirana da izrazi principe koji ih uključuju naziva se modalna logika.



Najjednostavniji način konstrukcije takve logike je dodavanje nekom standardnom nemodalnom sustavu novog primitivnog operatora namijenjenog predstavljanju jednog od gore spomenutih modalnih pojmova, definiranje ostalih modalnih operatora u smislu istog i dodavanje određenih posebnih aksioma ili transformacije pravila ili oboje. Izgrađeno je jako puno sustava modalne logike, ali ovdje će pozornost biti ograničena na nekoliko usko povezanih onih u kojima je temeljni nemodalni sustav uobičajen PC .

Alternativni sustavi modalne logike

Svi sustavi koji se ovdje razmatraju imaju iste wff-ove, ali se razlikuju po svojim aksiomima. Wffs se mogu odrediti dodavanjem simbola računala primitivnom monadičkom operatoru L a prema pravilima formiranja PC-a pravilo da ako je α wff, onda je L a. L namijenjen je tumačenju kao što je potrebno, tako da L str bit će istina samo i samo ako str je neophodan prijedlog. Monadički operator M a dijadični operator ℨ (tumačiti kao Moguće je da to i strogo podrazumijeva) mogu se zatim uvesti sljedećim definicijama, koje na očit način odražavaju gore navedene neformalne račune veza između nužnosti, mogućnosti i strogog implikacija: ako je α bilo koji wff, onda M α treba biti skraćenica od ∼ L ∼α; a ako su α i β bilo koji wffs, tada će α ℨ β biti skraćenica od L (α ⊃ β) [ili alternativno od ∼M (α · ∼β)].



porijeklo zakona o pravima

Modalni sustav poznat kao T ima kao aksiome skup aksioma koji odgovaraju PC-u (poput PM-a), a uz to

  1. L strstr
  2. L ( stršto ) ⊃ ( L strL što )

Aksiom 1 izražava načelo da je sve što je nužno točno istina, a 2 načelo da, ako što logično slijedi iz str , onda, ako str je nužna istina, takva je i što (tj. da je sve što proizlazi iz nužne istine samo po sebi nužna istina). Čini se da ova dva principa imaju visok stupanj intuitivne vjerojatnosti, a 1 i 2 su teoremi u gotovo svim modalnim sustavima. Pravila transformacije T su jednolična supstitucija, Stavljanje granice , i pravilo da, ako je α teorem, tako je L α (pravilo nužnosti). Intuitivno obrazloženje ovog pravila je da se u zvučnom aksiomatskom sustavu očekuje da svaka instanca teorema α neće biti samo istinita, već nužno istinita - i u tom slučaju svaka instanca L α će biti istina.

Među jednostavnije teoreme T ubrajamo



  • strM str ,
  • L ( str · što ) ≡ ( L str · L što ),
  • M ( stršto ) ≡ ( M strM što ),
  • ( L strL što ) ⊃ L ( stršto ) (ali ne i obratno),
  • M ( str · što ) ⊃ ( M str · M što ) (ali ne i obratno),

i

  • L M str ≡ ∼ M Lstr ,
  • ( stršto ) ⊃ ( M strM što ),
  • (∼ strstr ) ≡ L str ,
  • L ( stršto ) ⊃ ( L strM što ).

Postoji mnogo modalnih formula koje nisu teoremi T-a, ali koje imaju određenu tvrdnju da izraze istinu o nužnosti i mogućnosti. Među njima su i L strL L str , M strL M str , i strL M str .Prva od njih znači da ako je prijedlog nužan, sam po sebi nužna istina; drugo znači da je, ako je prijedlog moguć, nužnost njegove istine nužna; i treće znači da ako je prijedlog istinit, ne samo da je to moguće već je i njegova mogućnost nužna istina. Sve su to različiti elementi u općoj tezi da prijedlog koji ima modalna obilježja koja ima (poput nužnosti, mogućnosti) nije nepredviđena stvar, već je određen logičkim razmatranjima. Iako je ova teza možda filozofski kontroverzna, ona je barem vjerojatna i njezine posljedice vrijedi istražiti. Jedan od načina njihovog istraživanja je konstrukcija modalnih sustava u kojima su gore navedene formule teoremi. Nijedna od ovih formula, kao što je rečeno, nije teorem T; ali svaki bi se mogao dosljedno dodavati u T kao dodatni aksiom za stvaranje novog i opsežnijeg sustava. Sustav dobiven dodavanjem L strL L str do T je poznat kao S4; koji se dobiva dodavanjem M strL M str do T je poznat kao S5; i dodavanje strL M str do T daje Brouwerov sustav (nazvan po nizozemskom matematičaru L.E.J. Brouweru), ovdje skraćeno nazvan B.

Odnosi između ova četiri sustava su sljedeći: S4 je jači od T; tj. Sadrži sve teoreme T i ostalih osim. B je također jači od T. S5 je jači od S4 i također je jači od B. S4 i B su, međutim, međusobno neovisni u smislu da svaki sadrži neke teoreme koje drugi nema. Od posebne je važnosti da, ako M strL M str se dodaje u T, a zatim L strL L str može se izvesti kao teorem, ali, ako se samo drugo potonje doda u T, prvo se tada ne može izvesti.



Primjeri teorema S4 koji nisu teoremi T jesu M strM M str , M L M strM str , i ( stršto ) ⊃ ( L strL što ). Primjeri teorema S5 koji nisu teoremi S4 jesu L strM L str , L ( strM što ) ≡ ( L strM što ), M ( str · L što ) ≡ ( M str · L što ) i ( L strL što ) ∨ ( L štoL str ). Jedna važna značajka S5, ali ne i ostalih spomenutih sustava, jest da bilo koji wff koji sadrži neprekinuti slijed monadičkih modalnih operatora ( L s ili M s ili oboje) vjerojatno je ekvivalent istom wff-u sa svim tim operatorima koji su izbrisani, osim posljednjeg.

Razmatranje prostora isključuje objašnjenje mnogih drugih aksiomatski istraženi sustavi modalne logike. Neki od njih su slabiji od T; takvi sustavi obično sadrže aksiome T bilo kao aksiome ili kao teoreme, ali imaju samo ograničeni oblik pravila potrebe. Druga skupina sadrži sustavi koji su jači od S4, ali slabiji od S5; neki od njih pokazali su se plodonosnima u razvijanju logike vremenskih odnosa. Još jedna skupina uključuje sustave koji su jači od S4, ali neovisni o S5 u gore objašnjenom smislu.



Kapital predikat logike se mogu oblikovati i izradom analogan dodaci LPC-u umjesto PC-u.

Valjanost u modalnoj logici

Zadatak definiranja valjanosti za modalni wffs kompliciran je činjenicom da, čak i ako se daju vrijednosti istinitosti svih varijabli u wff-u, nije očito kako se treba odlučiti za izračunavanje vrijednosti istine cijelog wff-a. Unatoč tome, dan je niz definicija valjanosti primjenjivih na modalni wff, od kojih se ispada da se svaki podudara s nekim aksiomatskim modalnim sustavom u smislu da donosi valjane one wffs, i nijednu drugu, koje su teoremi tog sustava. Većina, ako ne i svi od ovih računa o valjanosti mogu se smatrati varijantnim načinima davanja formalne preciznosti ideji da je nužnost istina u svakom mogućem svijetu ili zamislivom stanju stvari. Najjednostavnija takva definicija je sljedeća: neka se model konstruira pretpostavljajući prvo (konačan ili beskonačan) skup U svjetova. U svakom svijetu, neovisno o svim ostalim, neka se svakoj prijedlog varijabli dodijeli ili vrijednost 1 ili vrijednost 0. U svakom se svijetu vrijednosti funkcija istine izračunavaju na uobičajeni način iz vrijednosti njihovih argumenata u tom svijetu. U svakom svijetu, međutim, L α ima vrijednost 1 ako α ima vrijednost 1 ne samo u tom svijetu već i u svakom drugom svijetu u U kao i inače ima vrijednost 0; i u svakom svijetu M α ima vrijednost 1 ako α ima vrijednost 1 ili u onom svijetu ili u nekom drugom svijetu u U a inače ima vrijednost 0. Ova pravila omogućuju izračunavanje vrijednosti (1 ili 0) u bilo kojem svijetu u U za bilo koji zadani wff, jednom vrijednosti varijabli u svakom svijetu u U su navedeni. Model je definiran kao sastavljen od skupa svjetova zajedno s dodijelom vrijednosti upravo opisane vrste. Wff vrijedi ako i samo ako ima vrijednost 1 u svakom svijetu u svakom modelu. Može se dokazati da wffs koji vrijede po ovome kriterij jesu li upravo teoremi S5; iz tog razloga modeli ovdje opisane vrste mogu se nazvati S5-modeli, a valjanost kako je upravo definirano mogu se nazvati S5-valjanost.



Definicija T-valjanosti (tj. Ona za koju se može dokazati da iznosi tačno teoreme T-a kao valjane) može se dati na sljedeći način: T-model sastoji se od skupa svjetova U i dodjela vrijednosti svakoj varijabli u svakom svijetu, kao i prije. Uključuje i specifikaciju za svaki svijet u U , neke podskupine U kao svjetovi koji su tom svijetu dostupni. Funkcije istine procjenjuju se kao i prije, ali u svakom svijetu u modelu, L α ima vrijednost 1 ako α ima vrijednost 1 u tom svijetu i u svakom drugom svijetu u U mu je dostupan i inače ima vrijednost 0. I, u svakom svijetu, M α ima vrijednost 1 ako α ima vrijednost 1 bilo u onom svijetu ili u nekom drugom svijetu koji joj je dostupan, a inače ima vrijednost 0. (Drugim riječima, pri izračunavanju vrijednosti L α ili M α u danom svijetu ne uzima se u obzir vrijednost α ni u jednom drugom svijetu koji mu nije dostupan.) Wff vrijedi T ako i samo ako ima vrijednost 1 u svakom svijetu u svakom T-modelu.

gdje biste našli mona lizu

S4-model definiran je kao T-model, osim što je potrebno da odnos pristupačnosti bude prijelazan - tj. Da, gdje je u 1, u dva, i u 3jesu li bilo koji svjetovi u U , ako u 1je dostupan u dvai u dvaje dostupan u 3, onda u 1je dostupan u 3. Wff vrijedi za S4 onda i samo ako ima vrijednost 1 u svakom svijetu u svakom S4 modelu. Za S4-valjane wff-ove može se pokazati da su upravo teoremi S4-a. Napokon, dobiva se definicija valjanosti koja će odgovarati sustavu B zahtijevajući da odnos pristupačnosti bude simetričan, ali ne i da bude tranzitivan.



Za sva četiri sustava mogu se dati učinkoviti postupci odlučivanja o valjanosti. Daljnje modifikacije opće opisane metode dale su definicije valjanosti koje se podudaraju s mnogim drugim aksiomatskim modalnim sustavima, a metoda se može prilagoditi kako bi se dala definicija valjanosti za intuicionistički PC. Međutim, za brojne aksiomatske modalne sustave nije stvoren zadovoljavajući prikaz valjanosti. Valjanost se također može definirati za različite logike predikatnih kombinacija kombiniranjem definicije LPC-valjanosti dane ranije ( vidi gore Valjanost u LPC-u) s relevantnim računima valjanosti za modalne sustave, ali modalna logika koja se temelji na LPC-u je, kao i sam LPC, neodlučan sustav.