Slučajne varijable i raspodjele vjerojatnosti

Slučajna varijabla je numerički opis ishoda statističkog eksperimenta. Slučajna varijabla koja može pretpostaviti samo konačan broj ili beskonačno slijed vrijednosti kaže se da je diskretan; za onu koja može pretpostaviti bilo koju vrijednost u nekom intervalu na pravom brojevnom pravcu kaže se da je kontinuirana. Na primjer, slučajna varijabla koja predstavlja broj automobila prodanih u određenom prodajnom mjestu jednog dana bila bi diskretna, dok bi slučajna varijabla koja predstavlja težinu osobe u kilogramima (ili kilogramima) bila kontinuirana.

Raspodjela vjerojatnosti za slučajnu varijablu opisuje kako su vjerojatnosti raspoređene na vrijednosti slučajne varijable. Za diskretnu slučajnu varijablu, x , raspodjela vjerojatnosti definirana je funkcijom mase vjerojatnosti, označena sa f ( x ). Ova funkcija pruža vjerojatnost za svaku vrijednost slučajne varijable. U razvoju funkcije vjerojatnosti za diskretnu slučajnu varijablu moraju biti zadovoljena dva uvjeta: (1) f ( x ) mora biti nenegativan za svaku vrijednost slučajne varijable i (2) zbroj vjerojatnosti za svaku vrijednost slučajne varijable mora biti jednak.



Kontinuirana slučajna varijabla može poprimiti bilo koju vrijednost u intervalu na liniji realnog broja ili u zbirci intervala. Budući da postoji bilo koji broj vrijednosti u bilo kojem intervalu, nije smisleno govoriti o vjerojatnosti da će slučajna varijabla poprimiti određenu vrijednost; umjesto toga, uzima se u obzir vjerojatnost da će se kontinuirana slučajna varijabla nalaziti unutar određenog intervala.



U kontinuiranom slučaju, pandan funkciji mase vjerojatnosti je funkcija gustoće vjerojatnosti, također označena sa f ( x ). Za kontinuiranu slučajnu varijablu, funkcija gustoće vjerojatnosti daje visinu ili vrijednost funkcije pri bilo kojoj određenoj vrijednosti od x ; ne daje izravno vjerojatnost da slučajna varijabla poprimi određenu vrijednost. Međutim, područje ispod grafikona f ( x ) koji odgovara nekom intervalu, dobivenom izračunavanjem integrala od f ( x ) tijekom tog intervala pruža vjerojatnost da će varijabla poprimiti vrijednost unutar tog intervala. Funkcija gustoće vjerojatnosti mora zadovoljiti dva zahtjeva: (1) f ( x ) mora biti nenegativan za svaku vrijednost slučajne varijable, a (2) sastavni preko svih vrijednosti slučajne varijable mora biti jednaka.

Očekivana vrijednost ili sredina slučajne varijable - označena sa JE ( x ) ili μ — ponderirani je prosjek vrijednosti koje slučajna varijabla može poprimiti. U diskretnom slučaju težine se daju funkcijom mase vjerojatnosti, a u kontinuiranom slučaju utezi daju se funkcijom gustoće vjerojatnosti. Formule za izračunavanje očekivanih vrijednosti diskretnih i kontinuiranih slučajnih varijabli date su jednadžbama 2, odnosno 3.



JE ( x ) = Σ x f ( x ) (dva)

JE ( x ) = ∫ x f ( x ) d x (3)

Odstupanje slučajne varijable, označeno s Var ( x ) ili σdva, je ponderirani prosjek kvadrata odstupanja od srednje vrijednosti. U diskretnom slučaju težine se daju funkcijom mase vjerojatnosti, a u kontinuiranom slučaju utezi daju se funkcijom gustoće vjerojatnosti. Formule za izračunavanje varijansi diskretnih i kontinuiranih slučajnih varijabli date su jednadžbama 4, odnosno 5. The standardna devijacija , označen s σ, pozitivan je kvadratni korijen varijance. Budući da se standardno odstupanje mjeri u istim jedinicama kao i slučajna varijabla, a odstupanje mjeri u kvadratnim jedinicama, standardno odstupanje je često poželjna mjera.



Gdje( x ) = σdva= Σ ( x - μ)dva f ( x ) (4)

Gdje( x ) = σdva= ∫ ( x - μ)dva f ( x ) d x (5)

Posebne raspodjele vjerojatnosti

Binomna raspodjela

Dvije najčešće korištene diskretne raspodjele vjerojatnosti su binomna i Poissonova. Binomna funkcija masene vjerojatnosti (jednadžba 6) daje vjerojatnost da x uspjesi će se dogoditi u n pokusi binomnog eksperimenta.



Jednadžba.

Binomni pokus ima četiri svojstva: (1) sastoji se od niza n identična ispitivanja; (2) na svakom suđenju moguća su dva ishoda, uspjeh ili neuspjeh; (3) označena vjerojatnost uspjeha u bilo kojem pokusu str , ne mijenja se od suđenja do suđenja; i (4) ispitivanja su neovisna. Na primjer, pretpostavimo da je poznato da je 10 posto vlasnika dvogodišnjih automobila imalo problema s električnim sustavom svog automobila. Da bi se izračunala vjerojatnost pronalaska točno 2 vlasnika koji su imali problema s električnim sustavom iz skupine od 10 vlasnika, binomna funkcija mase mase može se koristiti postavljanjem n = 10, x = 2 i str = 0,1 u jednadžbi 6; za ovaj je slučaj vjerojatnost 0,1937.



Poissonova raspodjela

Poissonova raspodjela vjerojatnosti često se koristi kao model broja dolazaka u objekt unutar određenog vremenskog razdoblja. Na primjer, slučajna varijabla može se definirati kao broj telefonskih poziva koji dolaze u sustav zrakoplovne rezervacije tijekom razdoblja od 15 minuta. Ako je poznat srednji broj dolazaka u intervalu od 15 minuta, Poissonova funkcija mase vjerojatnosti dana jednadžbom 7 može se koristiti za izračunavanje vjerojatnosti x Dolasci.

Jednadžba.



Na primjer, pretpostavimo da je srednji broj poziva koji stignu u razdoblju od 15 minuta 10. Da bi se izračunala vjerojatnost da 5 poziva dođe u sljedećih 15 minuta, μ = 10 i x = 5 zamjenjuju se u jednadžbi 7, dajući vjerojatnost 0,0378.

Normalna raspodjela

U statistikama je najčešće korištena kontinuirana raspodjela vjerojatnosti normalna raspodjela vjerojatnosti. Grafikon koji odgovara normalnoj funkciji gustoće vjerojatnosti sa srednjom vrijednosti μ = 50 i standardnim odstupanjem od σ = 5 prikazan je uSlika 3. Kao i svi normalni grafovi raspodjele, to je krivulja u obliku zvona. Vjerojatnosti za normalnu raspodjelu vjerojatnosti mogu se izračunati pomoću statističkih tablica za standardnu ​​normalnu raspodjelu vjerojatnosti, što je normalna raspodjela vjerojatnosti sa sredinom nula i standardnim odstupanjem jedan. Jednostavna matematička formula koristi se za pretvaranje bilo koje vrijednosti iz normalne raspodjele vjerojatnosti sa srednjom vrijednosti μ i standardnog odstupanja σ u odgovarajuću vrijednost za standardnu ​​normalnu raspodjelu. Zatim se za izračunavanje odgovarajućih vjerojatnosti koriste tablice za standardnu ​​normalnu raspodjelu.



društvene promjene u Japanu nakon Drugog svjetskog rata
normalna raspodjela vjerojatnosti

normalna raspodjela vjerojatnosti Slika 3: Normalna raspodjela vjerojatnosti sa srednjom vrijednosti ( μ ) od 50 i standardno odstupanje ( σ ) od 5. Encyclopædia Britannica, Inc.

Postoje mnoge druge diskretne i kontinuirane raspodjele vjerojatnosti. Ostale široko korištene diskretne raspodjele uključuju geometrijske, hipergeometrijske i negativne binome; ostale često korištene kontinuirane raspodjele uključuju jednoliku, eksponencijalnu, gama, hi-kvadrat, beta, t i F.